O 5º Postulado de Euclides

Posted on maio 25, 2014

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“O descobrimento da geometria não euclidiana deve-se a própria geometria euclidiana”.

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A Geometria Não Euclidiana surgiu acompanhada de descrença pelos matemáticos nos postulados de Euclides, mas muito por fruto de dúvidas quanto a veracidade do quinto postulado, conhecido como axioma das paralelas, que conduziu a criação de outros tipos de geometria, destacando-se a supracitada, que foi concebida no final do século XIX e propós a possibilidade de negação do postulado das paralelas.

Transcreve-se abaixo como na época:

E que se uma recta ao incidir sobre duas rectas faz os ângulos internos do mesmo lado menores que dois rectos, as duas rectas prolongadas indefinidamente encontrar-se-ão no lado no que estão os menores que dois rectos.”

Além de ser considerado mais difícil de se aceitar que os outros quatro, o dito não parecia se encaixar entre os anteriores. Ficava fácil perceber que seu postulado ao passo da prova real se fazia efetivo para mínimas distâncias. Quando se navegando em alto mar e percorrendo-se distâncias grandes ver-se-ia o fracasso do supradito.

A tentativa de deduzi-lo a partir de outros axiomas fora fracassada como também a consequente busca por preservá-lo à condição de Teorema.

As novas geometrias deram-se por descobertas em 1871, com base em novas observações geométricas como as hipérboles, elipse, esferas e parábolas. De 1820 a 1832, matemáticos como Gauss, Lobachevsky e Janos Bolyai,já dominavam os principais teoremas destas novas geometrias. Sendo que somente vinte séculos depois Gauss percebe a não demonstrabilidade do V Postulado de Euclides, e os contemporâneos Lobachevsky e Janos Bolyai,começam a desenvolver o que viria a ser a Geometria Não Euclidiana, onde já se observou a negação do postulado V.

Alguns anos mais tarde com muito empenho que se obteve provas da consistência da teoria não euclidiana por Eugenio Beltrami, Felix Klein, Henri Poincaré e outros.

A nova geometria não alteraria o comportamento dos elementos já construídos, embora os novos elementos necessitassem ser interpretados em uma nova geometria.

Cada elemento deveria ser então registrado segundo a que geometria pertencesse considerando “as medidas das distâncias e dos ângulos”.

“A razão pela qual a geometria euclidiana permaneceu como única durante muitos anos deve-se, principalmente, ao fato de que a maioria das pessoas viverem restritas a pequenas porções da superfície da Terra, sendo sua curvatura despreszivelmente pequena nessas regiões. Assim, um pedreiro ou um carpinteiro devem usar a geometria euclidiana, enquanto que um aviador ou um iatista devem usar a não euclidiana.”

Poderemos facilmente verificar a aplicabilidade da geometria não euclidiana, quando se falando em Navegação de alto mar, posicionamento na superfície do oceano por meio da navegação astronômica. Quando se “baixaria” ângulos e amplitudes das estrelas visíveis e previstas para aquele céu, usando-se o sextante, e por deformações trigonométricas, poder-se-ia chegar a uma indeterminação da posição da embarcação em alto-mar.

Num outro momento verificaremos o uso da Geometria não euclidiana quando fosse necessário confeccionar mapas terrestres que ultrapassassem o raio de 30 Km, distância para qual a partir desta, a esferacidade da terra torna-se bastante expressiva em termos de posicionamento geográfico. Hoje os cartográficos sabem dessa importante observação e que deverão obrigatoriamente considera-la por ocasião de seus levantamentos topográficos.

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